Menjumlahkan deret aritmetika
MAT-XI-03
Membuktikan rumus jumlah dengan pasangan suku.
Bekal awal: Menentukan aturan dari informasi.
Konteks bab
Gunakan kasus sebagai latihan berpikir. Catat data asli jika pengamatan dilakukan; pertahankan label simulasi pada data contoh.
Bacaan dan kasus
1 · Pola kebutuhan bahan
Kasus pembuka
Kasus, angka, dan rancangan dalam bab ini adalah model pembelajaran; bukan laporan pengukuran atau fasilitas Ponpes Temas.
Model kebutuhan tiap pekan 12,15,18,... lembar, dengan kenaikan tetap selama delapan pekan.
Fokus pemeriksaan. Apa bedanya kebutuhan terakhir dan total?
Barisan dan deret
Deret adalah penjumlahan suku. Tulis jumlah maju dan mundur; setiap pasangan berjumlah a+Uₙ dan ada n pasangan. Karena jumlah terhitung dua kali, Sₙ=n(a+Uₙ)/2=n[2a+(n−1)d]/2.
Batas penjumlahan
Pastikan suku awal dan akhir serta banyak suku. Untuk menjumlahkan suku ke-r hingga ke-s, gunakan Sₛ−Sᵣ₋₁. Jumlah memiliki satuan sama dengan suku, sedangkan n tidak bersatuan.
Alasan pasangan tetap
Untuk sepuluh suku 5,8,...,32, pasangan ujung 5+32 dan 8+29 sama-sama 37. Terdapat lima pasangan sehingga jumlah 5×37=185. Jika banyak suku ganjil, suku tengah belum berpasangan tetapi bernilai setengah jumlah kedua ujung. Cara menulis daftar maju dan mundur menghindari pemisahan kasus ganjil-genap ini dan menghasilkan satu rumus umum.
Telusuri contoh
Jumlah 1+2+...+100.
- a=1,U₁₀₀=100.
- S=100(101)/2.
- S=5050.
Jumlah 5,8,11,... sebanyak 10 suku.
- U₁₀=5+9×3=32.
- S₁₀=10(5+32)/2.
- S₁₀=185.
Uₙ adalah satu suku; Sₙ adalah jumlah n suku.
Latihan mandiri
1 Jumlah 2+4+...+20?
Petunjuk awal
Tuliskan besaran atau fakta yang diketahui, pilih konsep yang sesuai, lalu periksa satuan dan batas kesimpulan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
10(2+20)/2=110.
2 Jumlah suku ke-3 sampai ke-5 barisan 1,3,5,...?
Petunjuk awal
Tuliskan besaran atau fakta yang diketahui, pilih konsep yang sesuai, lalu periksa satuan dan batas kesimpulan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
5+7+9=21.
3 Mengapa membagi dua pada rumus pasangan?
Petunjuk awal
Tuliskan besaran atau fakta yang diketahui, pilih konsep yang sesuai, lalu periksa satuan dan batas kesimpulan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
Setiap suku tercakup dua kali ketika daftar maju dan mundur dijumlahkan.
Perluas pemahamanmu
Turunkan Uₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ untuk n≥2.
Coba dengan umpan balik
Latihan otomatis membantu pemeriksaan; tuliskan alasan dan langkah untuk membuktikan pemahaman.
1 S₄ barisan 3,5,7,9 adalah
Petunjuk awal
Tentukan informasi, konsep dan bukti yang dibutuhkan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
C. 24. 3+5+7+9=24.
Praktik dan refleksi
Susun pasangan kertas untuk membuktikan rumus jumlah.
Pendampingan pelajaran ini
Hubungkan situasi, tabel, gambar, dan bentuk aljabar. Minta siswa menjelaskan perpindahan di antara representasi tersebut.
Membuktikan rumus jumlah dengan pasangan suku.
Menentukan aturan dari informasi.
Ulangi contoh pertama dengan gambar atau tabel. Minta siswa memperbaiki satu langkah yang keliru dan menjelaskan sebabnya.
Turunkan Uₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ untuk n≥2.
Mengapa membagi dua pada rumus pasangan?
Penanda pribadi di perangkat ini; bukan nilai atau bukti penguasaan.