Deret geometri
MAT-XI-05
Menurunkan jumlah hingga dan menilai deret tak hingga.
Bekal awal: Barisan geometri.
Konteks bab
Gunakan kasus sebagai latihan berpikir. Catat data asli jika pengamatan dilakukan; pertahankan label simulasi pada data contoh.
Bacaan dan kasus
2 · Dua model pertumbuhan
Kasus pembuka
Kasus, angka, dan rancangan dalam bab ini adalah model pembelajaran; bukan laporan pengukuran atau fasilitas Ponpes Temas.
Nilai awal rekaan Rp 2.000.000 dengan tingkat 10% per tahun, tanpa setoran atau biaya.
Fokus pemeriksaan. Bagaimana aturan pertumbuhan mengubah selisih?
Mengurangkan jumlah
Untuk Sₙ=a+ar+...+arⁿ⁻¹, kurangi rSₙ sehingga (1−r)Sₙ=a(1−rⁿ). Jika r≠1, Sₙ=a(1−rⁿ)/(1−r). Jika r=1, semua suku a dan jumlahnya na.
Mendekati batas
Untuk |r|<1, rⁿ mendekati 0 sehingga jumlah tak hingga mendekati a/(1−r). Ini batas model matematis, bukan jumlah periode fisik yang benar-benar selesai. Jika |r|≥1, rumus batas ini umumnya tidak berlaku; kasus a=0 bersifat khusus.
Memeriksa sisa menuju batas
Pada 8+4+2+..., empat suku pertama berjumlah 15. Batasnya 16 sehingga sisa setelah empat suku adalah 1. Suku-suku berikutnya 1/2,1/4,... memang berjumlah 1 dalam arti batas. Pernyataan bahwa jumlah mendekati 16 tidak berarti pada langkah tertentu semua suku berikut menjadi nol. Perbedaan antara nilai setiap suku dan batas jumlah perlu dijelaskan.
Telusuri contoh
Jumlah 2+6+18+54.
- a=2,r=3,n=4.
- S₄=2(3⁴−1)/(3−1).
- S₄=80.
Jumlah 8+4+2+... tak hingga.
- a=8,r=1/2 memenuhi |r|<1.
- S=8/(1−1/2).
- Batas 16.
Rumus jumlah hingga dan tak hingga berbeda syarat.
Latihan mandiri
1 Jumlah lima suku semuanya 7?
Petunjuk awal
Tuliskan besaran atau fakta yang diketahui, pilih konsep yang sesuai, lalu periksa satuan dan batas kesimpulan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
35; gunakan r=1.
2 Jumlah 3+1,5+0,75+... tak hingga?
Petunjuk awal
Tuliskan besaran atau fakta yang diketahui, pilih konsep yang sesuai, lalu periksa satuan dan batas kesimpulan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
6.
3 Mengapa a/(1−r) tidak dipakai pada 1+2+4+...?
Petunjuk awal
Tuliskan besaran atau fakta yang diketahui, pilih konsep yang sesuai, lalu periksa satuan dan batas kesimpulan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
|r|=2≥1, suku dan jumlah tidak mendekati batas hingga.
Perluas pemahamanmu
Tentukan sisa setelah n suku sebagai arⁿ/(1−r) bila |r|<1.
Coba dengan umpan balik
Latihan otomatis membantu pemeriksaan; tuliskan alasan dan langkah untuk membuktikan pemahaman.
1 Jumlah 1+1/3+1/9+... adalah
Petunjuk awal
Tentukan informasi, konsep dan bukti yang dibutuhkan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
A. 3/2. |r|<1 dan 1/(1−1/3)=3/2.
Praktik dan refleksi
Bandingkan jumlah parsial dengan batas tak hingga.
Pendampingan pelajaran ini
Hubungkan situasi, tabel, gambar, dan bentuk aljabar. Minta siswa menjelaskan perpindahan di antara representasi tersebut.
Menurunkan jumlah hingga dan menilai deret tak hingga.
Barisan geometri.
Ulangi contoh pertama dengan gambar atau tabel. Minta siswa memperbaiki satu langkah yang keliru dan menjelaskan sebabnya.
Tentukan sisa setelah n suku sebagai arⁿ/(1−r) bila |r|<1.
Mengapa a/(1−r) tidak dipakai pada 1+2+4+...?
Penanda pribadi di perangkat ini; bukan nilai atau bukti penguasaan.