Pangkat, faktor prima, FPB, dan KPK
TEMAS-MAT-VII-003
Menggunakan pangkat bulat positif dan negatif, faktorisasi prima, FPB, serta KPK dalam masalah bilangan.
Bekal awal: Perkalian, pembagian, serta faktor dan kelipatan sederhana.
Jejak Ponpes Temas
Materi Adab Santri Ponpes Temas membahas merawat perlengkapan dan menjaga waktu. Kita menggunakannya sebagai konteks pencatatan; semua jumlah barang pada latihan adalah simulasi.
Pangkat sebagai perkalian
Untuk bilangan a dan bilangan asli n, aⁿ berarti perkalian n faktor yang semuanya a. Jadi 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16, bukan 2 × 4. Tanda kurung penting: (−3)² = 9, sedangkan −3² = −9 menurut urutan operasi. Untuk bilangan positif, perkalian pangkat dengan basis sama dapat digabung dengan menjumlahkan banyak faktornya, misalnya 2³ × 2² = 2⁵.
Pangkat nol, negatif, dan bentuk baku
Untuk a≠0, a⁰=1 dan a⁻ⁿ=1/aⁿ. Aturan ini menjaga pola pembagian: 2³=8, 2²=4, 2¹=2, 2⁰=1, 2⁻¹=1/2, dan 2⁻²=1/4; setiap langkah dibagi 2. Pangkat negatif tidak berarti hasilnya pasti negatif. Pada basis sama yang bukan nol, aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ dan aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. Bentuk baku bilangan positif memakai c×10ⁿ dengan 1≤c<10 dan n bulat. Contoh 45.000=4,5×10⁴ serta 0,0032=3,2×10⁻³. Periksa kembali dengan menggeser nilai tempat atau mengalikan pecahan persepuluhan. Bilangan 0 tidak dapat menjadi basis pada pangkat negatif karena akan menimbulkan pembagian oleh nol.
Mengurai faktor prima
Bilangan prima lebih besar daripada 1 dan memiliki tepat dua faktor positif, yaitu 1 dan dirinya. Bilangan 1 bukan prima. Faktorisasi prima 60 adalah 2² × 3 × 5. Pohon faktor boleh bercabang dengan cara berbeda, tetapi hasil faktor primanya sama. Periksa dengan mengalikan kembali. Faktorisasi membantu menemukan susunan kelompok tanpa mencoba semua kemungkinan satu per satu.
Memilih FPB atau KPK
FPB adalah faktor persekutuan terbesar: cocok untuk membagi beberapa jenis barang menjadi sebanyak mungkin paket identik tanpa sisa. KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil: cocok untuk mencari pertemuan pertama dua pola berulang yang mulai bersamaan. Dari faktorisasi, FPB memakai faktor prima bersama dengan pangkat terkecil; KPK memakai semua faktor prima dengan pangkat terbesar. Pilih berdasarkan arti masalah, bukan hanya kata tertentu.
Telusuri contoh
Simulasi bahan literasi Ponpes Temas: 24 pensil dan 36 pembatas buku dibagi menjadi paket identik sebanyak mungkin.
- 24 = 2³ × 3 dan 36 = 2² × 3².
- FPB = 2² × 3 = 12 paket.
- Setiap paket berisi 24 ÷ 12 = 2 pensil dan 36 ÷ 12 = 3 pembatas.
Dua pengingat latihan diatur setiap 6 dan 8 hari, dimulai bersamaan. Kapan bertemu lagi?
- 6 = 2 × 3 dan 8 = 2³.
- KPK = 2³ × 3 = 24.
- Bertemu kembali setelah 24 hari; ini pola simulasi, bukan jadwal resmi pondok.
Nyatakan 0,00056 dalam bentuk baku dan hitung 3⁻².
- 0,00056 = 5,6 × 0,0001 = 5,6 × 10⁻⁴.
- 3⁻² = 1/3² = 1/9.
- Pangkat −2 menghasilkan kebalikan kuadrat, bukan −9.
Memakai KPK untuk jumlah paket terbanyak. Paket identik tanpa sisa membutuhkan pembagi bersama.
Latihan mandiri
1 Hitung 3⁴.
Petunjuk awal
Tulis yang diketahui, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa kembali satuannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
3 × 3 × 3 × 3 = 81.
2 Tuliskan faktorisasi prima 72.
Petunjuk awal
Tulis yang diketahui, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa kembali satuannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
72 = 8 × 9 = 2³ × 3².
3 Tentukan FPB dan KPK dari 18 dan 30.
Petunjuk awal
Tulis yang diketahui, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa kembali satuannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. FPB = 6, KPK = 90.
4 Mengapa 1 tidak disebut prima?
Petunjuk awal
Tulis yang diketahui, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa kembali satuannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
Bilangan prima memiliki tepat dua faktor positif yang berbeda. Bilangan 1 hanya memiliki satu faktor positif.
5 Hitung 5⁻² dan 7⁰.
Petunjuk awal
Tulis yang diketahui, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa kembali satuannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
5⁻²=1/25 dan 7⁰=1.
6 Nyatakan 720.000 dan 0,0045 dalam bentuk baku.
Petunjuk awal
Tulis yang diketahui, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa kembali satuannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
720.000=7,2×10⁵; 0,0045=4,5×10⁻³.
Perluas pemahamanmu
Untuk dua bilangan positif, FPB(a,b) × KPK(a,b) = a × b. Uji dengan 18 dan 30: 6 × 90 = 18 × 30 = 540. Identitas ini dapat menjadi pemeriksaan, tetapi jelaskan dulu arti FPB dan KPK.
Coba dengan umpan balik
Latihan otomatis membantu pemeriksaan; tuliskan alasan dan langkah untuk membuktikan pemahaman.
1 Hitung 2⁵.
Petunjuk awal
Ada lima faktor 2.
Pembahasan · buka setelah mencoba
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
2 FPB 16 dan 24 adalah ...
Petunjuk awal
Cari pembagi bersama terbesar.
Pembahasan · buka setelah mencoba
16 = 2⁴ dan 24 = 2³ × 3; FPB = 8.
3 KPK 4 dan 10 adalah ...
Petunjuk awal
Daftar kelipatan kedua bilangan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
Kelipatan bersama terkecilnya 20.
4 Berapakah 2⁻³?
Petunjuk awal
Pangkat negatif berarti kebalikan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
2⁻³=1/2³=1/8.
Coba di Ponpes Temas
Buat rancangan paket perlengkapan belajar dari dua jumlah simulasi. Buktikan bahwa jumlah paket pilihanmu paling banyak dengan mendaftar faktor.
Penanda pribadi di perangkat ini; bukan nilai atau bukti penguasaan.