Mengapa Teorema Pythagoras Benar
PT-MAT-VIII-017
Menjelaskan hubungan luas persegi pada tiga sisi segitiga siku-siku.
Bekal awal: Menguasai luas persegi/segitiga dan bentuk aljabar ekuivalen.
Jejak Ponpes Temas
Konteks menata pekerjaan bersama dipakai pada model kertas. Gambar bukan denah pondok, petunjuk konstruksi, atau izin mengambil jalur.
Kartu Sumber dan Kasus
5A · Empat Segitiga, Satu Bukti
Peraga Pythagoras
Model/simulasi baru untuk belajar. Angka, harga, ukuran, kode, dan rancangan bukan data atau ketentuan resmi Ponpes Temas. Rancangan kertas baru untuk pembuktian; tidak menyatakan konstruksi pondok.
Persegi luar bersisi a+b. Empat segitiga siku-siku kongruen berkaki a dan b disusun di sudut; hipotenusa c membentuk batas persegi tengah. Gambar contoh memakai a=3 dan b=4, tetapi penalaran simbolik berlaku untuk setiap a,b positif.
Luas luar (a+b)². Total empat segitiga 4×ab/2=2ab. Sisa tengah c²=(a+b)²−2ab=a²+b². Setiap sudut tengah 90° karena dua sudut lancip segitiga berjumlah 90°.
Pada angka 3 dan 4, luas luar 49, total segitiga 24, sisa 25 satuan luas, sehingga c=5 satuan panjang. Mencoba satu angka memberi contoh; susunan dan sifat aljabar memberi bukti umum.
Fokus pemeriksaan. Tunjukkan hubungan antara bagian gambar, satuan luas, dan rumus.
Kenali sisi terhadap sudut siku-siku
Pada segitiga siku-siku, dua sisi yang membentuk sudut 90° disebut kaki. Sisi di hadapan sudut itu adalah hipotenusa dan merupakan sisi terpanjang. Jika kaki a dan b serta hipotenusa c, teorema Pythagoras menyatakan a²+b²=c². Hubungan ini tentang kuadrat panjang atau luas persegi, bukan a+b=c.
Luas yang disusun ulang
Kartu 5A menempatkan empat segitiga siku-siku kongruen di dalam persegi sisi a+b. Setiap segitiga luasnya ab/2; bagian tengah berupa persegi sisi c. Sudut bagian tengah siku-siku karena dua sudut lancip segitiga berjumlah 90°. Luas tengah = (a+b)²−4(ab/2)=a²+2ab+b²−2ab=a²+b². Karena luasnya juga c², diperoleh c²=a²+b².
Bukti melampaui pengukuran satu gambar
Mengukur gambar 3–4–5 dapat memberi contoh, tetapi bukan bukti semua segitiga siku-siku. Penalaran luas menjelaskan mengapa hubungan berlaku pada sebarang panjang kaki positif. Saat menggambar, letakkan tanda siku-siku dan label hipotenusa dengan benar. Kertas peraga bukan ukuran ruang atau penyangga bangunan pondok.
Telusuri contoh
Kaki segitiga 3 cm dan 4 cm. Bandingkan luas persegi sisi-sisinya.
- Luas persegi kaki 9 cm² dan 16 cm².
- Jumlahnya 25 cm².
- Persegi hipotenusa luasnya 25 cm² sehingga sisinya 5 cm.
Persegi luar sisi 7, empat segitiga kaki 3 dan 4. Luas tengah?
- Luas luar 7²=49.
- Empat segitiga luas total 4×(3×4/2)=24.
- Luas tengah 49−24=25, sama dengan 3²+4².
Menggunakan a+b=c atau memilih sisi miring berdasarkan posisi kertas, bukan hadap sudut 90°.
Latihan mandiri
1 Di mana letak hipotenusa?
Petunjuk awal
Tulis informasi dan satuan, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa hasil serta batas kesimpulannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
Di hadapan sudut siku-siku, bukan ditentukan arah gambar.
2 Tuliskan teorema untuk kaki p,q dan hipotenusa r.
Petunjuk awal
Tulis informasi dan satuan, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa hasil serta batas kesimpulannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
p²+q²=r².
3 Mengapa luas empat segitiga menjadi 2ab?
Petunjuk awal
Tulis informasi dan satuan, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa hasil serta batas kesimpulannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
4×ab/2=2ab.
4 Apakah satu pengukuran 3–4–5 membuktikan semua segitiga siku-siku?
Petunjuk awal
Tulis informasi dan satuan, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa hasil serta batas kesimpulannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
Belum; bukti umum memerlukan alasan yang berlaku pada semua panjang yang memenuhi syarat.
Perluas pemahamanmu
Jelaskan asal setiap bagian dalam (a+b)²−2ab. Tandai pada gambar mana luas luar, empat segitiga, dan persegi tengah.
Coba dengan umpan balik
Latihan otomatis membantu pemeriksaan; tuliskan alasan dan langkah untuk membuktikan pemahaman.
1 Jumlah luas persegi pada kaki 6 dan 8 adalah…
Petunjuk awal
Tulis informasi dan satuan, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa hasil serta batas kesimpulannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
6²+8²=36+64=100 satuan luas.
2 Luas satu segitiga siku-siku berkaki 3 dan 4 adalah…
Petunjuk awal
Tulis informasi dan satuan, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa hasil serta batas kesimpulannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
3×4/2=6 satuan luas.
3 Teorema Pythagoras langsung berlaku pada…
Petunjuk awal
Tulis informasi dan satuan, pilih hubungan yang sesuai, lalu periksa hasil serta batas kesimpulannya.
Pembahasan · buka setelah mencoba
B. segitiga siku-siku. Kaki-kakinya harus saling tegak lurus.
Coba di Ponpes Temas
Susun empat segitiga kertas seperti 5A. Jelaskan pembuktian kepada pasangan tanpa meminta praktik bangunan nyata.
Penanda pribadi di perangkat ini; bukan nilai atau bukti penguasaan.