Bola dan belahan bola
MATH9-11
Membedakan permukaan lengkung, bidang potong, dan volume bola.
Bekal awal: Pangkat dua, pangkat tiga, dan lingkaran.
Konteks bab
Penggunaan air secukupnya muncul pada dialog Hiwarut Thalabah PDF 27. Bentuk serta ukuran wadah dalam buku adalah model pembelajaran, bukan keterangan fasilitas.
Bacaan dan kasus
3 · Kapasitas yang belum tentu sama
Bacaan pendalaman
Kasus dan angka yang dibuat untuk latihan adalah simulasi/rekaan; fakta konsep dan sumber dibedakan dalam uraian.
Wadah model A berupa tabung dengan jari-jari dalam 5 cm dan tinggi isi 12 cm. Kapasitas geometrisnya 300π cm³. Model B mempunyai jari-jari luar sama, tetapi dindingnya tebal sehingga jari-jari dalam hanya 4,5 cm. Dengan tinggi isi sama, kapasitas B menjadi 243π cm³.
Kata “ukuran sama” perlu diperjelas: ukuran luar atau dalam, tinggi benda atau tinggi isi? Dalam catatan pembelajaran, tulis satuan, asal ukuran, dan batas pengisian. Menghemat bahan atau air tidak dilakukan dengan mengabaikan ketelitian pengukuran.
Fokus pemeriksaan. Ukuran mana yang relevan untuk kapasitas?
Jarak yang sama dari pusat
Permukaan bola terdiri dari titik-titik yang berjarak r dari pusat. Tidak ada bidang alas pada bola utuh. Lingkaran yang melalui pusat saat bola dipotong disebut lingkaran besar dan berjari-jari sama dengan bola.
Hubungan ukuran
Luas permukaan bola 4πr² dan volumenya ⁴⁄₃πr³. Rumus luas menunjukkan empat kali luas lingkaran besar, bukan empat lingkaran yang menempel begitu saja. Model irisan dan perbandingan dengan tabung membantu memahami hubungan; pembuktian umum lebih lanjut dapat dipelajari pada jenjang berikutnya.
Belahan yang tertutup
Setengah bola mempunyai luas lengkung 2πr². Jika bidang potongnya ditutup dengan lingkaran, luas seluruh permukaannya 3πr². Volumenya ⅔πr³. Keterangan “tanpa alas” atau “tertutup” menentukan bidang mana yang dihitung.
Telusuri contoh
Bola r = 3 cm. Tentukan luas dan volumenya.
- Luas = 4π × 9 = 36π cm².
- Volume = ⁴⁄₃ × π × 27 = 36π cm³.
- Nilai koefisien kebetulan sama, tetapi satuan dan besaran berbeda.
Belahan bola r = 4 cm ditutup pada bidang potong.
- Luas lengkung 32π cm².
- Bidang potong 16π cm².
- Total permukaan 48π cm²; volume 128π/3 cm³.
Bagian permukaan yang tampak pada gambar bukan satu-satunya bagian yang dihitung.
Latihan mandiri
1 Diameter bola 12 cm. Jari-jarinya?
Petunjuk awal
Pisahkan informasi yang diketahui, alasan yang diperlukan, dan batas kesimpulan. Periksa kembali contoh sebelum membuka pembahasan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
6 cm.
2 Bola r = 2 cm. Luas permukaan?
Petunjuk awal
Pisahkan informasi yang diketahui, alasan yang diperlukan, dan batas kesimpulan. Periksa kembali contoh sebelum membuka pembahasan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
16π cm².
3 Belahan bola r = 2 cm tanpa bidang penutup. Luas lengkung?
Petunjuk awal
Pisahkan informasi yang diketahui, alasan yang diperlukan, dan batas kesimpulan. Periksa kembali contoh sebelum membuka pembahasan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
8π cm².
4 Mengapa belahan tertutup tidak cukup dihitung dengan setengah luas bola?
Petunjuk awal
Pisahkan informasi yang diketahui, alasan yang diperlukan, dan batas kesimpulan. Periksa kembali contoh sebelum membuka pembahasan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
Karena bidang potong lingkaran menjadi permukaan tambahan.
Perluas pemahamanmu
Bandingkan volume bola berjari-jari r dengan tabung berjari-jari r dan tinggi 2r; jelaskan rasio 2 : 3.
Coba dengan umpan balik
Latihan otomatis membantu pemeriksaan; tuliskan alasan dan langkah untuk membuktikan pemahaman.
1 Luas belahan bola tertutup adalah…
Petunjuk awal
Tentukan informasi, konsep dan bukti yang dibutuhkan.
Pembahasan · buka setelah mencoba
D. 3πr². Tambahkan luas lengkung 2πr² dan bidang potong πr².
Praktik dan refleksi
Gambar dua belahan: satu terbuka, satu tertutup. Warnai bidang yang dihitung berbeda.
Penanda pribadi di perangkat ini; bukan nilai atau bukti penguasaan.